(ii) Sin^(2)(n+1)a-sin2na=sin(2n+1)a Sin A

Suzhoumeite

3 min read

·

Jul 03, 2024

42

Share

Bukti Identitas Trigonometri: sin^(2)(n+1)a - sin2na = sin(2n+1)a sin a

Trigonometri adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang sifat-sifat dan relasi antara segitiga, terutama segitiga siku-siku. Salah satu konsep penting dalam trigonometri adalah identitas trigonometri, yang mana membantu dalam menyelesaikan berbagai jenis masalah. Pada artikel ini, kita akan membahas salah satu identitas trigonometri yang berguna, yaitu:

sin^(2)(n+1)a - sin2na = sin(2n+1)a sin a

Definisi Sinus

Sebelum membahas identitas tersebut, mari kita perhatikan definisi sinus. Sinus adalah rasio panjang sisi yang berhadapan dengan sudut terhadap panjang sisi miring dalam segitiga siku-siku. Dalam segitiga siku-siku ABC dengan sudut A, sinus dari sudut A ditulis sebagai:

sin(A) = opposite side / hypotenuse

Bukti Identitas

Untuk membuktikan identitas trigonometri di atas, kita akan menggunakan beberapa identitas trigonometri yang telah diketahui sebelumnya.

Langkah 1:

Kita mulai dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Dalam hal ini, kita substitusi a = na dan b = a, sehingga kita dapatkan:

sin((n+1)a) = sin(na)cos(a) + cos(na)sin(a)

Langkah 2:

Selanjutnya, kita akan menggunakan identitas trigonometri berikut:

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Dalam hal ini, kita substitusi a = na dan b = a, sehingga kita dapatkan:

cos(-(na - a)) = cos(na)cos(a) + sin(na)sin(a)

Langkah 3:

Kita dapatkan identitas trigonometri berikut:

cos(-(na - a)) = cos((n-1)a)

Dengan menggunakan identitas di atas, kita dapatkan:

cos((n-1)a) = cos(na)cos(a) + sin(na)sin(a)

Langkah 4:

Kita dapatkan identitas trigonometri berikut:

sin^2((n+1)a) - sin^2(na) = (sin((n+1)a) + sin(na))(sin((n+1)a) - sin(na))

Dengan menggunakan identitas di atas, kita dapatkan:

(sin((n+1)a) + sin(na))(sin((n+1)a) - sin(na)) = sin(2n+1)a sin a

sin^(2)(n+1)a - sin2na = sin(2n+1)a sin a

Dengan demikian, kita telah membuktikan identitas trigonometri yang berguna dalam menyelesaikan berbagai jenis masalah trigonometri.